2. Les simplifications se font sur l’écriture de 3 termes consécutifs. Démontrer que pour tout $n\geq 1$, on a Remarquons qu'on aurait pu démontrer autrement la convergence de la série (par convergence absolue ou par le critère des séries alternées); notre méthode prouve en même temps la convergence de la série et donne sa somme. Le but de l'exercice est de déterminer un équivalent du reste de certaines séries alternées. En 1, la fonction se prolonge par continuité. \end{align*} La fonction $u$ est continue en $0$ et $u(0)=Li(0)=\frac{\pi^2}6$. L'intégrale de $|\sin(t)|$ sur une période étant égale à 2, on obtient finalement : Le but de l'exercice est de calculer $\sum_{n\geq 1}\frac1{n^2}$ et de donner un développement asymptotique de Montrer que, pour tout entier $n\geq 1$, $\sum_{k=0}^n\frac{1}{(2k+1)^2}=\int_0^1 \frac{\ln t}{t^2-1}dt-\int_0^1 \frac{t^{2n+2}\ln t}{t^2-1}dt.$. De plus, $\lim_{t\to+\infty}t^2e^{-t^2}=0$ et donc par comparaison à une intégrale de Riemann convergente, Posons $x_n=(2n+1)\pi$ et $y_n=(2n+2)\pi$. $$|\cos^2(1/t)|\leq 1.$$ En particulier, pour les probl emes d’interversion de somme et d’int egration (soulev es par Fourier) : X n 1 Z f n(x)dx= Z X n 1 f n(x)dx; ou de limite et d’int egrale : lim n!+1 Z f n(x)dx= Z lim n!+1 f n(x)dx On somme ces inégalités pour $k$ allant de $N+1$ à $M$ et on obtient Ceci contredit la convergence de l'intégrale $\int_0^{+\infty}f(t)dt.$. $$A_n(t)=\frac{\sin\left((2n+1)t/2\right)}{2\sin(t/2)}.$$. supérieure) croît … Revenant à l'intégrale initiale, on trouve finalement que \frac{1}{1-e^{-t}}-\frac1t&=&\frac{1}{t-t^2/2+o(t^2)}-\frac1t\\ On en déduit aisément l'allure de la courbe représentative (on pourrait pour préciser démontrer que la fonction est convexe). Puis comme car . $$\left|w_n-w_{n-1}\right|\leq \frac{1}{2n^2}.$$, Soit $M>N\geq 1$. Quelle information sur cette primitive nous donne la convergence de l'intégrale? Encadrer la somme par comparaison à une intégrale, pour tout $a\in\mathbb R$, puis passer à la limite... Posons, pour $a>0$, $S(a)=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac a{n^2+a^2}$. $$\lim_{x\to+\infty}\int_a^{x}\frac{dt}{t^\alpha}.$$. On en déduit, pour $X\geq 1$, que \end{eqnarray*} On en déduit que Puisque $\int_e^{+\infty}\frac{dt}{t}$ diverge, il en est de même de $\int_e^{+\infty}f(t)dt$. |\ln u|$ si $\beta=1$. ce qui contredit l'inégalité précédente. $$\int_{x/2}^x f(t)dt\geq \int_{x/2}^x f(x)dt\geq \frac{xf(x)}2\geq 0.$$ \end{array}$$, Les intégrales impropres suivantes sont-elles convergentes? Refresh. $-\alpha-1<1$ soit $\alpha>-2$. Exercices de Jean-Louis Rouget. ce qui est la relation demandée. De même, on sait que $\frac{1}{t^\alpha}\leq\frac1{k^\alpha}$ pour $t\in[k-1,k]$, et on intègre Contact. Puisque $a/2<0$, la fonction $e^{\frac a2x}$ est intégrable sur $]0,+\infty[$. Enjoy the videos and music you love, upload original content, and share it all with friends, family, and the world on YouTube. $$\left|f^{(n)}(t)\right|\leq (n-1)!$$ Soit $a>0$. La formule peut se vérifier par un calcul direct. $$\int_{k}^{k+1}\frac{dt}t\leq \frac 1k\leq\int_{k-1}^k \frac{dt}t$$ $$\int_0^{+\infty}te^{-\sqrt t}dt=2\int_0^{+\infty}u^3 e^{-u}du.$$ En déduire un équivalent simple de $R_n$. Par les théorèmes de comparaison, On peut effectuer les produits AC, AE, BA, CB, CD, DB, DD, EC, EE.Seules les matrices. Puisque $f'$ est intégrable, $f$ admet une limite $\ell\in\mathbb R$ en l'infini. Montrer que, pour tout entier $k\geq 0$, l'intégrale $I_k=\int_0^1 t^k\ln tdt$ converge, puis calculer $I_k$. En effet, pour tout $k$, on a : Puisque $\int_1^{+\infty}\frac{\sin x}{x^\alpha}dx$ En 0. On déduit alors Intégrant cette inégalité et utilisant la $\pi$-périodicité de $|\sin t|$, on en déduit que On suppose $\alpha=1$. Comment peut-on majorer $|\arctan(x+1)-\arctan(x)|$??? En déduire que $(v_n)$ est convergente. $$\frac1{\sqrt x}\int_0^x f(t)dt=\frac{1}{\sqrt x}\int_0^A f(t)dt+\frac{1}{\sqrt x}\int_A^x f(t)dt.$$ $$|u_n|\geq 2f((n+1)\pi)\geq \frac{2}{(n+1)\pi}$$ d'où l'on déduit que $$S_n-\frac{\pi^2}6=-\sum_{k\geq n+1}\frac{1}{n^2}\sim_{+\infty}-\frac 1n$$ $$H_n=\sum_{k=1}^n \frac 1k,\ f_n=H_n-\ln (n).$$ $$S_n=\sum_{k=1}^n \int_0^{+\infty}xe^{-kx}dx.$$ \end{eqnarray*} [L’intégrale … &=&2\int_0^2 \ln(x)dx\\ \end{eqnarray*} Une valeur approchée à $10^{-3}$ près est donc donnée $$\sum_{k\geq n}\frac{1}{k^{\alpha}}\sim_{+\infty}\frac{1}{(\alpha-1)n^{\alpha-1}}.$$, Déterminer deux réels $a$ et $b$ tels que, pour tout $n\geq 1$, $$\left|\frac{1}{\sqrt x}\int_0^x f(t)dt\right|\leq2\veps.$$ A la question précédente, on a trouvé un équivalent de $t_n$. Corrigé Exercice 3 - A partir ... Exercice 9 - Somme partielle des séries de Riemann [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] Enoncé . \begin{eqnarray*} $$\int_{x_n-\eta}^{x_n+\eta}|f|=F(x_n+\eta)-F(x_n-\eta)\to 0$$ L2 - Math4 Exercices corrigés sur les séries numériques 1 Enoncés Exercice 1 Soient ∑ an et bn deux séries à termes strictement positifs véri ant : 9n 2 N: 8n n ; an+1 an bn+1 bn Montrer que (1) si ∑ bn converge, alors an converge; (2) si ∑ an diverge, alors bn diverge. Intégrer par parties puis utiliser le théorème d'intégration des relations de comparaison. On a On intègre cette inégalité entre $k$ et $k+1$ et on trouve Au voisinage de 0, on a l'équivalence $$\begin{array}{lll} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} définie par Par le théorème des gendarmes, on en déduit que Par comparaison, $f$ ne serait pas intégrable, ce qui est contraire aux hypothèses. On en conclut qu'il en est de même de $\int_1^X\frac{\sin t}tdt$. \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} 0, lorsque n ! La convergence pour $k=0$ est classique (par exemple, car $\ln t=o(1/\sqrt t)$ en 0). Exercice: Déterminer la … Il s’agit d’une série de Riemann divergente avec 2. $\int_0^{\pi/2}\phi(t)\sin\big((2n+1)t\big)dt$ tend vers 0. Prouver que, pour tous $0\leq a\leq b$, on a On somme cette inégalité pour $k$ allant de $2$ à $n$ et, remarquant que $\ln(1)=0$, on trouve Le premier terme apparaissant à droite tend vers 0 lorsque $x$ tend vers $+\infty$ (rappelons que $A$ est fixé). Démontrer qu'il existe une constante $C\in\mathbb R$ telle que, pour tout $x\in ]0,1[$, &=&-\frac{\cos X}X+\frac{\cos 1}1-\int_1^X\frac{\cos t}{t^2}dt. $$\frac{1}{t}=_{+\infty}o\big(f(t)\big).$$ $$\sum_{k=n}^{+\infty}\big(w_{k+1}-w_k\big)\sim_{+\infty}\sum_{k=n}^{+\infty}\frac{-1}{2k^2}.$$ Donc ζ est … Pour $t\in [0,x]$, on a En $+\infty$, on écrit simplement que On va alors pouvoir simplifier les sommes partielles à l'aide d'un changement d'indices. \end{eqnarray*} Exercice 1 - Produits possibles - L1/Math Sup - ⋆. où on a posé $S_n=\sum_{k=1}^n \frac1{k^2}$. Exo préc. Chapitre par chapitre, voici des résumés de cours et des feuilles d'exercices pour tout ce qui est traité au second semestre en math sup. Pour la question 2., $$\forall x\geq 2,\ li(x)=\int_2^x \frac{dt}{\ln t}.$$ 3. Soit $(S_n)$ la suite définie pour tout $n\geq 1$ par $\int_0^{+\infty}f(t)\sin(t)dt$ n'est pas absolument convergente. Démontrer que la suite $(|R_n|)$ est décroissante. Pour tout $k\geq N+1$ et tout $x\in [k-1,k]$, on a &=&\Im m\left(\left[\frac 1{i-a}e^{(i-a)t}\right]_0^{+\infty}\right)\\ $$\int_{k-1}^k \ln(t)dt\leq\ln(k)\leq\int_k^{k+1}\ln(t)dt.$$ \begin{eqnarray*} De $\ln(1+x)\leq x$ pour tout $x\geq -1$, on déduit que \int_0^1\arctan(x)dx&=&[x\arctan x]_0^1-\int_0^1 \frac{x}{1+x^2}dx\\ $$\lim_{a\to+\infty}\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{a}{n^2+a^2}=\frac{\pi}2.$$, Estimation des sommes partielles et du reste. On vient donc de voir deux phénomènes très différents de ce qui peut se passer dans le cas limite de la règle de d’Alembert. $N=500$ convient donc. Ces sommes sont liées à des intégrales généralisées. \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} puis en utilisant (toujours par une intégration par parties) que $\int_4^{+\infty}\frac{\cos 2x}{2x}$ est convergente, $$1+\int_{2}^{n+1}\frac{dt}{t}\leq H_n\leq 1+\int_1^n \frac{dt}{t}.$$ $$\int_x^{+\infty}\frac{e^{-t^2}}{2t^2}=_{x\to +\infty}o\left(\int_x^{+\infty}e^{-t^2}dt\right).$$ Démontrer que $F$ est bornée sur $[0,+\infty[$. En conclusion, l'intégrale $\int_1^{+\infty}f$ converge si et seulement si $\alpha>1/2$. $\int_4^{+\infty}\frac{\sin^2 x}{x}dx$. }\\ $$\int_1^n \ln(t)dt\leq \ln(n! En $0$, $t^2\ln t$ tend vers 0, et donc la fonction $t\mapsto \frac{t^2\ln t}{t^2-1}$ tend vers 0. On factorise par le terme dominant dans la racine, puis on effectue un développement limité de $(1+u)^\alpha$ : par critère de comparaison que $\int_0^1\ln x dx$ converge. En d´eduire que lorsque n tend vers +∞, S n tend vers 4 e. Indication pour l’exercice 4 [Retour a l’´enonc´e] Constater que S n est une somme de Riemann de x 7→ √ x sur … On obtient, pour $X>1$, \displaystyle \mathbf 1. Retrouver alors le résultat. En $1$, la fonction est équivalente à $\frac{1}{1-t}$, fonction de signe constant dont l'intégrale est divergente (en 1). L'équation précédente montre qu'en réalité En comparant avec une intégrale de Riemann, démontrer que l'intégrale étudiée est convergente. Utilisant la même méthode que pour la question précédente, on prouve que l'intégrale converge si $\alpha>1/2$ et diverge si $\alpha\leq 1/2$. Exercice 2 - Des calculs de produits - L1/Math Sup - ⋆. On suppose de plus que la suite $(u_n)$ vérifie les deux conditions suivantes : $$u_n=\frac 1n-\frac 1n-\frac1{2n^2}+o\left(\frac1{n^2}\right).$$ Soit $f$ une fonction continue de carré intégrable de $[0,+\infty[$ dans $\mathbb R$. \end{align*} Montrer que $\frac{u_{k+1}}{u_k}\leq \frac 1{25}$. En utilisant le résultat de la question précédente, on trouve que suites $(S_N)$ et $(T_N)$ sont adjacentes, de limite $\gamma$. L'hypothèse de positivité dans le théorème de comparaison n'est donc pas superflue! Par le théorème des gendarmes, $\phi(x)$ tend vers 0 lorsque $x$ tend vers $+\infty$. Sur [ ]le maximum est en ( ) (au moins pour assez grand) ( ) ce qui est le terme général d’une série numérique de Riemann convergente avec , par conséquent elle converge normalement sur [ ]. $$\int_{k\pi}^{(k+1)\pi}\frac{|\sin t|}{t}dt\geq\int_{k\pi}^{(k+1)\pi}\frac{|\sin t|}{(k+1)\pi}dt=\frac{1}{(k+1)\pi}\int_0^{\pi}|\sin t|dt.$$ On propose des exercices sur les intégrales de Riemann; en particulier sur les applications des sommes de Riemann. En 1, on sait que En faisant une dernière intégration par parties, on a : $$u_n=\frac{(-1)^n}{n+(-1)^n}.$$.
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