24/04/2020 24/04/2020 2 min read WikiPhysaca78. 2.Déterminer l’équation de la trajectoire en coordonnées cartésiennes; la tracer. 1.2.2 Notion de trajectoire Dans la description de Lagrange, on s’intéresse à l’histoire de chaque particule de fluide. Donner ensuite sous la forme d’une intégrale, la distance parcourue entre l’instant t= 0 et l’instant t= 2 s. décrit dans le plan ⃗ ⃗ un mouvement suivant la trajectoire de la figure 1. 1655 Fermat : "la trajectoire minimise une durée ou une longueur" 1744 Maupertuis : "principe de moindre action pour la mecanique" . 2. RESOLUTION de L'EQUATION COMPLETE (I). Représenter schématiquement la trajectoire pour une valeur quelconque de 0 et identifier la nature de cette trajectoire. 1.c. Même problème que la balistique : on injecte y = -5m dans l'équation de la trajectoire : équation du second degré à résoudre, qui nous donne x 1 = 46,3m. 2. Lorsque le mouvement est un mouvement de chute libre, la seconde loi Newton nous avait permis de poser deux conditions pour prévoir la trajectoire : − P m = ¨r – v⊥ 2 r = r¨ −r θ˙2 (I-4.4) 0 = d dt (r v⊥) = d dt (r2 θ˙) (I-4.5) Cette fois, nous allons tenir compte de la variation du poids P avec l’altitude. La solution générale de l'équation complète (I) est la somme • de la solution générale de l'équation sans second membre (II) • et d'une solution particulière de l'équation complète (I) On suppose que passe toujours par O (mouvement à accélération centrale). de la sonde S au point A et déduire la nature de sa trajectoire. 1788 : puis preuve du principe à partir de la dynamique de Calculer la constante des aires C en fonction de VA et b. P( 0,h ). Chute libre verticale 1. en déduire une équation de la trajectoire de la forme ) = ( ; On en déduit = 0 0, d’où = −1 2 ( 0 0) 2 + 0 (1 point) 1.d. La trajectoire est l'ensemble des positions successives occupées par le mobile M lors de son mouvement. Elle est représentée par une courbe dans l’espace. = cste OM xiavec x = f(t ): l’équation de la trajectoire se confond avec celle de l’équation horaire. Expression de l’accélération. Considérons une particule de fluide P située en (x(t),y(t),z(t)) à l’instant t. Par définition la trajectoire est la courbe paramétrique C d’équation C Y … Tension de la perche : = 1 + = 486 2. 3.Écrire l’élément infinitésimal d’abscisse curviligne dsen fonction de tet dt. 2. En insérant 1) Démontrer que la vitesse de dans peut s’écrire dans la base ⃗ ⃗ sous la forme : ⃗⃗ ̇ @ Mouvement de chute libre. Vecteur vitesse v Le vecteur vitesse est la dérivée du vecteur position par rapport au temps : dt dx i dt dOM v Le vecteur vitesse v d’un mobile animé d’un mouvement rectiligne a la direction de la trajectoire et le sens du mouvement. 4. "Si sage si digne de l’être suprême" (considérations métaphysiques). Comme toute courbe, la trajectoire est déterminée, dans un repère donné, par son équation mathématique. Distance parcourue : − 0 = 9.8 4. Etablir l'équation de la trajectoire du mobile et les coordonnées du point d'impact sur le sol. Solution : a O i x y j v o A partir des composantes de et des conditions initiales, on déduit successivement les com-posantes de , les équations horaires x ( t ) et y ( t ), puis l'équation de la trajectoire : = 0. 4. La solution générale de (II) est y e C x C x avec C C RSG II x ()=+ ∈( cos sin ) ( , ) α ββ 12 12 2 3. 1. 1756 Lagrange : Expression mathématique (Lagrangien). Exercices : La chute libre , équation de la trajectoire. C’est le mouvement d’un objet soumis uniquement à son poids. Les frottements de l'air sont négligés et on g 0 =9,81m.s-2 et V 0 =12m/s 1) Établir les équations horaires du mouvement x(t) et z(t 2) Déduire l’équation de la trajectoire 3) Montrer que La ballon passe au-dessus de filet 4) Est-ce que le service est réussi ? La forme de la trajectoire dépend du référentiel choisi. 3. Sachant que la trajectoire d’approche est tangente au cercle de rayon αrM en B, calculer le module de la vitesse en B, VB, en fonction de VA, rM, α et b. b I rM M α r A B VB O vA 4. Exercice 2 La figure ci-dessous schématise un parcours de golf. L’équation de cette trajectoire est donnée en coordonnées polaires par : où est une longueur donnée, et ̇ . - 10.
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